Wzór na częstotliwość – jak obliczyć częstotliwość f?

Masz wzór na częstotliwość przed oczami, ale dalej nie wiesz jak policzyć f w konkretnym zadaniu? W tym artykule krok po kroku przejdziemy przez różne sposoby liczenia częstotliwości w fizyce. Zobaczysz też, skąd biorą się popularne wzory używane w akustyce i elektronice.

Co to jest częstotliwość f?

Każdy ruch, który się powtarza, można opisać za pomocą wielkości zwanej częstotliwością f. To po prostu liczba powtórzeń zjawiska w czasie jednej sekundy. Jeśli wahadło zegara raz na sekundę wraca do tego samego skrajnego położenia, mówimy, że ma częstotliwość 1 Hz.

W fizyce częstotliwość oznaczamy najczęściej małą literą f, rzadziej grecką literą ν. Dotyczy to zarówno ruchu drgającego, ruchu obrotowego, jak i fal – na przykład dźwięku czy fali elektromagnetycznej. Ta sama idea pojawia się więc przy wahadle, na strunie gitary i w opisie światła.

Częstotliwość to liczba pełnych cykli zjawiska okresowego w jednostce czasu, najczęściej w ciągu 1 sekundy.

Jednostka herc i oznaczenia

Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc, zapisywany jako Hz. Jeden herc to jedno zdarzenie w ciągu jednej sekundy, czyli matematycznie 1 Hz = 1/s. Można to zapisać także jako Hz = s⁻¹, bo częstotliwość jest odwrotnością czasu.

W praktyce posługujemy się też wielokrotnościami tej jednostki. Dla prądu w gniazdku pojawia się wartość 50 Hz, w akustyce mówimy o kilohertzach kHz, a w elektronice wysokich częstotliwości o megahertzach MHz i gigahertzach GHz. Zawsze jednak chodzi o to samo – ile razy w ciągu sekundy powtarza się cykl.

Częstotliwość a okres drgań

W ruchu drgającym i falowym często wygodniej mierzyć nie liczbę cykli, lecz czas trwania jednego pełnego cyklu. Ten czas to okres drgań T. Jeśli znasz okres, natychmiast możesz obliczyć częstotliwość, bo te wielkości są do siebie odwrotnie proporcjonalne.

Podstawowy wzór wygląda tak: f = 1/T. Jeśli wahadło ma okres T = 2 s, to jego częstotliwość wynosi f = 1/(2 s) = 0,5 Hz. W zegarmistrzostwie takie wahadło nazywa się wahadłem sekundowym, bo od jednego skrajnego położenia do drugiego mija jedna sekunda.

Gdy tylko znasz okres T ruchu, możesz od razu policzyć częstotliwość z prostego wzoru f = 1/T.

Jak obliczyć częstotliwość z danych czasowych?

Na lekcjach fizyki często dostajesz wykres lub opis doświadczenia, w którym mierzony jest czas i liczba drgań. W takich zadaniach najwygodniej korzystać z definicji częstotliwości opartej na liczbie cykli.

Wzór f = n/t

Jeśli w czasie t zachodzi n pełnych drgań, to częstotliwość obliczysz ze wzoru f = n/t. Tu n jest liczbą bez jednostki, a czas t podajesz w sekundach. Wynik dostajesz w hercach, bo Hz to 1/s.

W doświadczeniu z ruchem drgającym możesz policzyć częstotliwość tak, aby ograniczyć wpływ błędu pomiarowego. Zwykle lepiej jest zmierzyć czas wielu drgań niż jednego. Typowa procedura wygląda następująco:

• rozbujać wahadło lub wprawić w drgania sprężynę,
• odczekać chwilę, aż ruch stanie się powtarzalny,
• zliczyć na głos kilkanaście lub kilkadziesiąt pełnych drgań,
• zmierzyć stoperem czas trwania wszystkich tych drgań i wstawić dane do wzoru f = n/t.

Jeżeli na przykład w ciągu 20 s zliczysz 40 drgań, to częstotliwość wynosi f = 40 / 20 s = 2 Hz. Każda sekunda odpowiada wtedy dwóm pełnym cyklom ruchu.

Przykład z wykresem ruchu drgającego

Na sprawdzianach często pojawia się zadanie, w którym masz wykres wychylenia w funkcji czasu. Nie musisz wtedy liczyć drgań, bo z wykresu da się odczytać okres T. Najprościej znaleźć dwa takie same charakterystyczne punkty przebiegu i odjąć odpowiadające im chwile czasu.

Załóżmy, że pierwsze maksimum wychylenia znajduje się w chwili t = 2 s, a następne takie samo maksimum w chwili t = 6 s. Różnica tych chwil to okres: T = 6 s − 2 s = 4 s. Częstotliwość drgań wynosi wtedy f = 1/4 s = 0,25 Hz. Zamiast maksimum możesz też wybrać dwa kolejne przejścia przez położenie równowagi w tym samym kierunku, wynik będzie ten sam.

Jak obliczyć częstotliwość fali?

W falach – mechanicznych i elektromagnetycznych – częstotliwość wiąże się z prędkością rozchodzenia się fali oraz jej długością. Dla fali harmonicznej obowiązuje zależność v = λ · f, gdzie v to prędkość fali, a λ (lambda) to długość fali.

Jeśli znasz prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku i jej długość, bardzo łatwo wyznaczysz częstotliwość. Wystarczy przekształcić wzór: f = v / λ. Dokładnie tak oblicza się częstotliwość dźwięku o znanej długości fali w powietrzu lub częstotliwość fali świetlnej w próżni.

Zależność częstotliwości od długości fali

Długość fali w instrumentach muzycznych zależy od wymiarów elementów drgających. Dla struny jest to w pierwszym przybliżeniu związane z jej długością, a dla piszczałki z jej wymiarem geometrycznym. Im większy instrument, tym dłuższe fale może wytwarzać i tym mniejsza jest częstotliwość dźwięku.

Dla fali akustycznej wewnątrz instrumentu obowiązuje ten sam wzór v = λ · f. Tu v oznacza prędkość dźwięku w materiale struny, membrany lub w powietrzu zamkniętym w pudle rezonansowym. W praktyce konstruktorzy skrzypiec czy wiolonczeli dobierają materiały tak, aby rozkład prędkości fal wewnątrz instrumentu dawał pożądane brzmienie.

Od czego zależy częstotliwość dźwięku struny?

Łącząc wzór na prędkość fali w strunie z równaniem v = λ · f, można pokazać, że częstotliwość tonu podstawowego zależy od kilku parametrów fizycznych struny. To dlatego gitara i skrzypce o tej samej długości gryfu brzmią inaczej, a wymiana strun zmienia charakter instrumentu.

W uproszczeniu częstotliwość tonu podstawowego zależy od takich wielkości:

• długości efektywnej struny między punktami podparcia,
• siły naciągu struny,
• masy jednostkowej struny, czyli jej grubości i gęstości materiału,
• rodzaju materiału, z którego wykonano elementy rezonujące instrumentu.

Gdy skracasz strunę, przykładając palec do gryfu, zmniejszasz jej długość efektywną. Wzór pokazuje wtedy wzrost częstotliwości, co w słuchu odbierasz jako wyższy dźwięk. Z kolei grubsza i cięższa struna przy tym samym naciągu daje mniejszą częstotliwość i niższą wysokość tonu.

Jak obliczyć częstotliwość w obwodach RC?

W elektronice często pojawia się pojęcie częstotliwości granicznej, zwanej też częstotliwością odcięcia filtra. Na przykład prosty filtr dolnoprzepustowy RC tłumi sygnały o wysokiej częstotliwości, a przepuszcza wolne przebiegi. Granicę między tymi zakresami opisuje właśnie częstotliwość graniczna.

W obwodzie z rezystorem R i kondensatorem C kluczowa jest reaktancja kondensatora. Jej wartość maleje wraz ze wzrostem częstotliwości zgodnie ze wzorem Xc = 1/(2π f C). Przy małych częstotliwościach kondensator ma dużą oporność, a przy dużych częstotliwościach zachowuje się jak niemal zwarcie.

Częstotliwość graniczna filtra RC

Częstotliwość graniczną filtra RC można określić jako taką wartość f, przy której reaktancja kondensatora jest równa rezystancji R. Wtedy energia sygnału dzieli się w obwodzie w charakterystyczny sposób, a wzmocnienie spada do wartości mniejszej o 3 dB w stosunku do niskich częstotliwości.

Warunek Xc = R zapisujemy jako 1/(2π f C) = R. Po przekształceniu otrzymujemy bardzo użyteczny wzór na częstotliwość graniczną filtra RC: f = 1/(2π R C). Ten związek stosuje się w projektowaniu prostych filtrów górnozaporowych i dolnoprzepustowych, a także przy szacowaniu pasma wzmacniaczy operacyjnych z elementami RC w pętli sprzężenia.

Przykład częstotliwości granicznej

Wyobraź sobie filtr dolnoprzepustowy z rezystorem R = 10 kΩ i kondensatorem C = 10 nF. Aby policzyć częstotliwość graniczną, wstawiasz te wartości do wzoru f = 1/(2π R C). Najpierw obliczasz iloczyn R · C, który w tym przypadku daje 10 000 · 10 · 10⁻⁹ = 10⁻⁴ s. Następnie dzielisz 1 przez wynik pomnożony przez 2π.

Otrzymujesz częstotliwość rzędu 1,6 kHz. To oznacza, że przebiegi o częstotliwości znacznie niższej niż 1,6 kHz będą przechodziły przez filtr prawie bez tłumienia, natomiast bardzo szybkie sygnały zostaną już wyraźnie stłumione. Taki prosty rachunek jest podstawą przy ustawianiu pasma torów audio i wielu układów pomiarowych.

Jak unikać typowych pomyłek przy liczeniu częstotliwości?

Podczas rozwiązywania zadań z fizyki większość błędów bierze się nie z trudnych wzorów, ale z drobnych przeoczeń. Często myli się jednostki, wstawia okres zamiast czasu całkowitego lub odwrotnie. Zdarza się też, że ktoś podaje w odpowiedzi odwrotność poszukiwanej wielkości.

Warto mieć prostą listę kontroli, z którą możesz porównać swój wynik. W codziennej pracy z zadaniami przydają się takie zasady:

1. sprawdzenie, czy czas w zadaniu jest podany w sekundach, a nie w minutach lub milisekundach,
2. upewnienie się, czy wzór używa okresu T, czy całkowitego czasu t,
3. rozpoznanie, czy liczba n oznacza liczbę drgań, obrotów, czy może harmoniczną tonu,
4. kontrola, czy wynik w hercach zgadza się z intuicją – np. wolne wahadło nie powinno mieć kilkuset Hz,
5. dobra praktyka, aby przy falach zawsze podać także długość fali lub prędkość, jeśli wynik na to pozwala.

Jeśli na koniec obliczeń zastanowisz się, czy uzyskana częstotliwość jest realna dla danego zjawiska, znacznie rzadziej przeoczysz błąd rachunkowy. Ciało ludzkie nie drga z częstotliwością megaherców, a typowa struna gitary nie ma częstotliwości pojedynczych herców, więc taka szybka ocena od razu podpowiada, gdzie zajrzeć do obliczeń jeszcze raz.